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Primero integramos la función \((x+2) \sqrt{x+1}\).
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Matemática 51
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
b) $\int_{0}^{3}(x+2) \sqrt{x+1} dx$
b) $\int_{0}^{3}(x+2) \sqrt{x+1} dx$
Respuesta
Este ejercicio es horrible. No es algo que suelan tomar mucho pero si el que arma el parcial ese día no durmió bien y está enojado con la vida, puede que te lo tomen, así que vamos a verlo igual. Preparate algo rico para afrontar este mal trago juntos, ah (?
Para integrar \((x+2) \sqrt{x+1}\), usamos el método de sustitución. Sea \(u = x+1\), entonces \(du = dx\).
La integral se transforma en:
$\int (x+2) \sqrt{x+1} \, dx = \int (x+2) \sqrt{u} \, du$
Hasta ahí todo bien, nadie llora. Peeeeero, ahora tenés $x$ y tenés $u$, y no tenés nada que cancele a esa $x$. No sabés qué caraj@ hacer con esa $x$, no? jajaja pero si la mirás bien, podrías notar que podés reescribir el paréntesis $(x+2)$ como $(x+1+1)$ y adiviná qué.. Sí, \(u = x+1\).
Entonces te queda $(x+2)$ como $(x+1+1)$, y así podés escribirlo como $(u+1)$
Por lo tanto, te queda:
$\int (x+2) \sqrt{x+1} \, dx = \int (u+1) \sqrt{u} \, du$
Y sí, hay que afinar mucho el ojo y buscar a $u$ con todas tus fuerzas. Pero tranqui, éste tipo de cosas maquiavélicas suelen pasar cuando tenés 2 funciones algebraicas con $x$ del mismo grado. Entonces vos sustituís una pero la otra $x$ te sobrevive. Y generalmente hay alguna vueltita de tuerca, como en este ejercicio para que puedas encontrar la expresión por la que reemplazaste $u$ en esa otra función de $x$. Bueno, mucha cháchara Julieta.. sigamos..
Distribuimos \(\sqrt{u}\) dentro de los paréntesis:
$\int (u+1) \sqrt{u} \, du = \int (u \sqrt{u} + \sqrt{u}) \, du$
Simplificamos las expresiones:
$= \int (u^{3/2} + u^{1/2}) \, du$
Integramos:
$= \int u^{3/2} \, du + \int u^{1/2} \, du$
$= \frac{2}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2} + C$
Reemplazamos \(u\) por \(x+1\):
$\int (x+2) \sqrt{x+1} \, dx = \frac{2}{5} (x+1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} + C$
Ahora aplicamos Barrow, y armate de paciencia otra vez, inhalo, exhalo y va:
$ \int_{0}^{3} (x+2) \sqrt{x+1} \, dx = \left[ \frac{2}{5} (x+1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} \right]_{0}^{3} $
$ \left[ \frac{2}{5} (x+1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} \right]_{0}^{3} = \left( \frac{2}{5} (3+1)^{5/2} + \frac{2}{3} (3+1)^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{5} (0+1)^{5/2} + \frac{2}{3} (0+1)^{3/2} \right) $
$ = \left( \frac{2}{5} (4)^{5/2} + \frac{2}{3} (4)^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{5} (1)^{5/2} + \frac{2}{3} (1)^{3/2} \right) $
$ = \left( \frac{2}{5} (32) + \frac{2}{3} (8) \right) - \left( \frac{2}{5} (1) + \frac{2}{3} (1) \right) $
$ = \left( \frac{64}{5} + \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{2}{5} + \frac{2}{3} \right) $
$ = \left( \frac{64}{5} + \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{6}{15} + \frac{10}{15} \right) $
$ = \left( \frac{64}{5} + \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{16}{15} \right) $
$ = \left( \frac{192}{15} + \frac{80}{15} \right) - \left( \frac{16}{15} \right) $
$ = \frac{272}{15} - \frac{16}{15} $
$ = \frac{256}{15} $
$ = \frac{256}{15} $
Un ejercicio del mal, pero bueno, es lo que hay amores. Yo no se los tomaría.
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